EsAula1 - Prod scalare Funz

1 Esercitazione sulla Trasformata di Fourier

In questa esercitazione vedremo come, tramite la definizione di prodotto scalare tra funzioni, sarà possibile ricavare le componenti armoniche presenti nei segnali e con esse ricostruire in maniera approssimata il segnale stesso.

La trasformata di Fourier trasforma il segnale dal dominio del tempo al dominio della frequenza. In altre parole una funzione del tempo viene rappresentata, tramite opportuni coefficienti, in una funzione della frequenza evidenziando quali componenti armoniche compaiono nel segnale.

Un segnale funzione del tempo s(t) rappresenta un segnale reale che varia in funzione del tempo senza soluzione di continuità. Un segnale discreto è un segnale campionato e quantizzato. Dunque rappresentabile tramite un vettore s = \{s(1), s(2), \dots, S(N)\}, dove n = 1\dots N sono gli N campioni acquisiti ad una certa frequenza di campionamento f_c.

2 Scomposizione di un vettore su di una base di versori orto-normali

Per comprendere il concetto di scomposizione di un segnale tempovariante si può pensare al parallelo vettoriale: un vettore nel piano può essere scomposto secondo due direzioni mutuamente ortogonali. In tale maniera si ottiene la scomposizione mediante la semplice relazione del prodotto scalare :

\mathbf{v} = \alpha \mathbf{e}_1 + \beta \mathbf{e}_2 \tag{1}

dove \mathbf{e}_1 ed \mathbf{e}_2 sono i versori delle direzioni mutuamente ortogonali (\mathbf{e}_1 \cdot \mathbf{e}_2 = 0). Grazie alla proprietà di ortogonalità della base posso scrivere infatti:

\alpha = \mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_1 = (\alpha \mathbf{e}_1 + \beta \mathbf{e}_2)\cdot \mathbf{e}_1 \\ \beta = \mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_2 \tag{2}

che definisce l’operazione di scomposizione tramite la semplice operazione di prodotto scalare. L’Equazione 1 suggerisce di rappresentare il vettore in una maniera diversa, ovvero considerando le sole componenti lungo i due versori:

\mathbf{v}=[\alpha, \beta]

tale rappresentazione consente di effettuare considerazioni sul vettore solamente tramite le sue componenti nelle direzioni della base ortogonale di vettori \mathbf{e}_1 ed \mathbf{e}_2. Ovvero il vettore può essere ‘pensato’ come una ‘freccia’ nel piano oppure come insieme di componenti.

La relazione di eguaglianza espressa in Equazione 1 garantisce la reversibilità, ovvero dati i parametri della trasformazione in componenti vettoriali lungo una coppia di direzioni ortogonali, è possibile risalire esattamente al vettore originario.

Dalla Equazione 1 e la Equazione 2 si ottiene:

\mathbf{v} = (\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_1) \mathbf{e}_1 + (\mathbf{v}\cdot \mathbf{e}_2) \mathbf{e}_2

che riassume i concetti prima espressi.

3 Scomposizione di un segnale tempovariante continuo su di una base di funzioni orto-normali

Per i segnali temporali vale un ragionamento analogo. Per semplicità considereremo lo sviluppo in serie invece della trasformata di Fourier in quanto da esso è poi possibile, tramite passaggio al limite, ricavare la formula della trasformata.

Una funzione periodica gode della proprietà che g(t)=g(t+nT) per ogni valore n intero. T è il periodo ed f_0 = 1/T è la frequenza fondamentale, mentre \omega = 2\pi f è la pulsazione. Essa può essere scomposta in serie di Fourier come segue.

g(t)=\frac{1}{2}a_o + \sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos(\omega_n t) + \sum_{n=1}^{\infty}b_n \sin(\omega_n t) \tag{3}

Dove \omega_n = 2\pi n f_0.

I coefficienti a_n e b_n vengono ricavati secondo le seguenti relazioni:

a_n = \frac{2}{T}\int_0^T g(\tau)\cos(\omega_nt)d\tau \\ b_n = \frac{2}{T}\int_0^T g(\tau)\sin(\omega_nt)d\tau \tag{4}

La Equazione 3 vuol dire scomporre la funzione g(t) secondo la base di funzioni ortogonali armoniche.

3.0.1 Definizione di prodotto scalare tra funzioni continue e discrete

La Equazione 3 corrisponde alla media delle componenti del prodotto elemento per elemento tra i due vettori. Dunque il prodotto scalare tra segnali/funzioni periodiche si definisce come:

g(t)\bullet f(t)=\frac{1}{T}\int_0^T g(\tau)f^*(\tau)d\tau \tag{5}

dove con f^*(t) si intende la funzione complessa coniugata di f(t) che, nel caso di funzioni reali, coincide con se stessa.

Nel caso di funzioni digitalizzate g_k ed f_k consistono nei due vettori \{g(1), g(2),\dots, g(N)\} e \{f(1), f(2),\dots, f(N)\} e quindi si definisce prodotto scalare tra i segnali digitalizzati:

g_k\bullet f_k=\frac{1}{T}\sum_{i=1}^N g_i f_i = \\ \{g(1), g(2),\dots, g(N)\} \bullet \{f(1), f(2),\dots, f(N)\}^T / N \tag{6}

Di seguito esempi in R di scomposizione di un’onda quadra su una base ortogonale e sua ricomposizione sulla stessa base. Poi scomposizione e ricomposizione secondo la serie di Fourier. Si noti che un’onda quadra che parte con fronte di salita esattamente con il primo campione risulta essere scomponibile solo mediante sinusoidi per cui dimenticheremo le componenti coseno.

3.0.2 Esempio

Definiamo le funzioni prodotto scalare tra segnali digitalizzati e relativa norma. La prima funzione la definiamo come operatore %ps%:

  # secondo le equazioni:
`%ps%` <- function(A, B) mean(A*B)

Per la norma, definiamo la funzione norm_ps (dato che norm è già definita):

norm_ps <- function(A) sqrt(A %ps% A)

(1:5) %ps% (5:1)

[1] 7

norm_ps(1:5)

[1] 3.316625

Ora creiamo un segnale onda quadra (il segno dell’onda seno) campionato su 1000 punti tra 0 e 1, con frequenza f0 Hz:

f0 <- 8
fc <- 1000
Tm <- 1
dt <- 1/fc

sin_k <- function(t, f, k=1) sin(2*pi*f*k*t)
cos_k <- function(t, f, k=1) cos(2*pi*f*k*t)

Segnale <- tibble(
  t = seq(dt, Tm, dt),
  ys = sin_k(t, f0),
  yq = sign(ys)
)

Segnale %>% 
  pivot_longer(-t, names_to = "signal") %>% 
  ggplot(aes(x=t, y=value, color=signal)) +
  geom_line() 

Onda quadra e corrispondente sinusoide di pari frequenza e ampiezza

Calcoliamo le prime K componenti della serie, secondo Equazione 6:

K <- 80
f_fond <- 1 / Tm
comps <- map_dbl(1:K, \(k) {
  s <- sin_k(Segnale$t, f_fond, k)
  Segnale$yq %ps% s/norm_ps(s) # si noti "s/norm_ps(s)" è un 'versore' avendo norma 1
}) %>% zapsmall()

comps

 [1]  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000
 [7]  0.0000000  0.9002689  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000
[13]  0.0000000  0.0000000  0.0000000 -0.0002844  0.0000000  0.0000000
[19]  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.2999633
[25]  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000
[31]  0.0000000 -0.0005692  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000
[37]  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.1798262  0.0000000  0.0000000
[43]  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000 -0.0008547
[49]  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000
[55]  0.0000000  0.1282847  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000
[61]  0.0000000  0.0000000  0.0000000 -0.0011412  0.0000000  0.0000000
[67]  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0996083
[73]  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000  0.0000000
[79]  0.0000000 -0.0014293

Approssimiamo l’onda quadra come somma delle prime 80 componenti:

Segnale <- Segnale %>%
  mutate(
    yqk = rowSums(
      sapply(1:K, function(k) {
        s <- sin_k(t, f_fond, k)
        comps[k] * s / norm_ps(s)
      })
    )
  )

Segnale

# A tibble: 1,000 × 4
       t     ys    yq   yqk
   <dbl>  <dbl> <dbl> <dbl>
 1 0.001 0.0502     1 0.313
 2 0.002 0.100      1 0.601
 3 0.003 0.150      1 0.841
 4 0.004 0.200      1 1.02 
 5 0.005 0.249      1 1.13 
 6 0.006 0.297      1 1.18 
 7 0.007 0.345      1 1.17 
 8 0.008 0.391      1 1.12 
 9 0.009 0.437      1 1.05 
10 0.01  0.482      1 0.983
# ℹ 990 more rows

pp <- plot_ly() %>%
  add_lines(Segnale$t, Segnale$yq, name = "Onda quadra", line = list(color = "blue")) %>%
  add_lines(Segnale$t, Segnale$yqk, name = "Onda approssimata", line = list(color = "red")) %>%
  layout(
    title = "Segnale ed approssimazione",
    xaxis = list(title = "Time")
  )
pp  # Mostra il grafico

Onda quadra e sua approssimazione come composizione dei primi sette termini della serie di Fourier

Esercizi

Provare ad esercitarsi:

1. Partire da K=1 e incrementare di 1 alla volta. Cosa si nota?

2. Con f_0=1 aumentare K di alcune centinaia e poi vicino a 500.
   Cosa succede? Esiste un numero K per cui il segnale ricomposto diviene
   pressoché perfettamente un’onda quadra? Se si aumenta ulteriormente questo
   numero cosa succede e perchè? Fino a che frequenza si può arrivare?

3. Mostrare in un grafico i coefficienti in funzione della frequenza.

4. Verificare che le armoniche rappresentano una base ortonormale.

5. Cambiare la funzione periodica da approssimare:

   • Dente di sega a media nulla (Suggerimento: usare l’operatore %%)
     
   • Integrale del Dente di sega a media nulla (Suggerimento: usare l’operatore cumsum())